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老何早年数学研究杂记

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何新: 简论拓扑学的哲学涵义

 

拓扑学的基础是集。所谓集,就是任何性质的元素的集合。在这里,元素就是范畴。

有限集和无限集不同,后者又分可数集(一个自然数能对应一个元素)和不可数集(连续集)。

集的任何一个部分叫作子集。集可以进行运算。集的元素之间可以建立对应关系。

 基于集上建立函数和映射,函数是两集的元素间的某种对应关系。如果两集的元素间建立了相互的顺序的关系(次序),则此两集为有序集。任何一个集,如果它的元素本身也是集的话,这个集就定义为集系统。

在拓扑学中,集概念是基础。如能满足以下两个要求,某个初始集的任何子集系统就定义为拓扑——该集本身属于该系统;任何(有限或无限)集数的和, 以及这个系统的有限集数的交属于同一系统。初始集和其中给出的拓扑叫拓扑空间。所有属于这个系统的集叫作开集。

这样,拓扑学可以使用任何元素而不要求这些元素间有确定的数量关系。说明某些集是开集,是确定拓扑的一种方法。开集的物理意义在于集的每个元素都有某种意义上相似的,也属于这个集的相邻的元素。这类相邻的点叫作邻域。

“基”是拓扑学的一个重要概念。拓扑空间的“基”是这样一种开子集的集——其他任何集都可以表示为这些子集的和。在某种意义上,基包含那些可以用来构成所有其他子集的最简单的子集,这等价于构成一切其他参考单位的基本参考单位的发展。基应当是有限的或是可数的(不是连续的),而且基元素(最简单的范畴组)应当互相分离而不会合并。这样就简化了拓扑空间数学运算的证明。

拓扑空间的一个特点是(和几何空间相反),不存在点之间距离的概念,而且点间关系要在其他原理的基础上建立。有时候拓扑学被称为“弹性几何学”,因为拓扑空间的对象可以按需要胀或压成几个部分仍保持不变,但不允许切开或并合。

按拓扑的观点,哑铃、咖啡壶和汽车轮胎的形体是一样的。在距离并不重要而关系(特别是在分析各种结构以及将一些结构改成排他结构时)比较重要的情况下,拓扑概念很有用。我们可以看到拓扑空间和实数空间之间的相似性。这种相似性帮助我们深入事物的实质。

在拓扑空间中用集,而在实数空间里用数,拓扑空间的基是可数的,也就是一个自然数级。具有可数基的拓扑空间的任何部分都可以表示为基元素的和,而且任何整数都可以表示为自然数的和。这实际上意味着我们像数一样在使用单个的范畴(拓扑空间的点)和范畴的集(组),差别在于拓扑空间的元素之间的距离同实数空间不同,是不确定的。但是拓扑学使用元素,而元素本身是集,因此表现出各种特性。这在描述问题时很有用。

拓扑空间的每一点表示一个范畴,一组范畴表示拓扑空间的一个部分,其中包括属于这个组的一些范畴集、点。假设我们讨论这样一类范畴,准备用一个特征和特点的集来描述,这些特征的数目可能是有限的或无限的。每个特征本身就是一个范畴,我们把它看作一个点。这个点定位之后,我们必须确定它与拓扑空间其他各点的相互联系。拓扑描述了这种相互联系。

在制定组织决策时,很重要的一点是,具有对结构特点进行数量评估和对与它的变换及其他结构有关的定量特征进行评估的能力。拓扑变换就是破坏某些联系和建立新的联系。如果联系不发生改变,则按拓扑观点来看就是没有变换。

运用拓扑学就有可能研究结构,评价变换的复杂性,建立结构之间的新关系,而结构的拓扑决定了它们的实际性质。研究外形的时候运用拓扑也很有用。

拓扑空间的一种形式同常用的度量空间即距离能确定的空间很相近。这便是所谓豪斯道夫空间,其中任意两点有不相交的邻域。这个特点的含义是各点相互分离。

霍布斯认为,思维“只不过是为了标志和称谓我们的思想而对一般名词的联系加以计算(加和减)罢了”。

从纯操作方面着眼,概念乃是“一种规则,应用它描写客体,使我们有可能断定,该客体是否属于那个同名称相符合的集合自动化 ”。

引进一个条件,将这一过程解释为连贯地采取一些决定并探索这些决定。这样的规则是一种“解答树”,其形状是定向的树形图。我们有可能用数学方式表达概念形成的过程:形成概念的程序是某种运算系统,它运用矩阵,以便建立“解答之树”。

概念是以同一性抽象为基础的。在这种概念中,固定着客体作为一个类别的代表所拥有的各种特性;但是,在这种概念中没有该类的亚类所特有的特征,换句话说,这类概念中不包括并列从属的概念。

孔德在 19 世纪中叶宣称,“我们永远不会知道宇宙星体的化学成分”。但是不久,本生(R.W.Bunson)和基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)就发明了光谱分析法,从而确切预知了未经验星体的元素成分。

布尔代数,也称逻辑代数或开关代数。它的基本概念是英国数学家布尔(George Boole)在 1847 年提出的。后来,布尔又于 1854 年在《思维规律的研究》(AnInvestigation of the Iows of Thought)一书中提出了“符号逻辑”系统。

他指出, 演绎逻辑中的各种命题可以用数学符号来代表。

“在哲学中我找到一种方法,达到了笛卡尔与其他人借助代数和分析在算术和几何方面所达到的目的。但是对所有科学而言,卢利亚和 P. 基尔赫尔就用组合论的方法制定了这种哲学,只是他们未能深入到它的本质中去。可是,他们指出了一条道路,据此世界上所有现存的组合概念都能够分解成数目有限的简单概念,它们好比是上述组合概念的字母表,用组合该字母表的字母的方法能够重新获得所有东西及其理论。这个发现,如果上帝能让我完成的话,将是我的所有发现的根基,它本身将是非常重要的……”

 


 

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