【何新读书杂记】
何新：再谈关于“〇”的概念
1
汉字很早就有零这个文字，但是此字却并不具有数字意义。
《说文》：“零，徐雨也。”零的意思是“零星、零散”的小雨，所谓“小雨其零”，缓缓落下。
零字本义无数字之意义。故清代《康熙字典》解释零字多义，唯独没有叙述零为数的意义。
零作数字其实是一个借字而已。零的数字意义出现很晚。
最早见于字书者，是明代梅膺祚的《字汇》：“畸零，凡数之零馀也。”也就是说，整数之余数，零散者谓之零，仍然并非具有无数或者空数的意义。而此数字意义《康熙字典》则并不采纳。
2
零开始作为汉字中的数字观念，可能只是零头、零余的意思。
零作为数字〇，而取得完整的数学语义，应当是非常晚近的事情。那些断言“0”是中国人发明的数字观念的人，多数人似乎忽视了“〇”这个数字具有非常复杂的涵义。
零，作为自然数中的一个特殊数字，中有多种意义：
1.放在两个数量中间，表示单位较高的量之下附有单位较低的量：如一年零三天。八元零二分。
2.数码空位，在数码中多作“0”：三0一号。二000年。
3.表示没有数量：一减一等于0。这种药的效力等于0。
4.量度的计算起点：0点。0以下10度。
这些意义是在数学语用的演化中逐渐取得的，不是任何人能够一次性发明或者赋予的。
而0的概念，作为一个数码空位处的数学符号，在中国数学中意义明确地出现，是我们已经讨论过的《开元占经》的九执历中。引入这个概念的是一位来自印度河地区的西域僧人瞿昙悉达。九执历以点的符号表示0位。
在此之后，宋代蔡沈《律率新书》(1135一1198)中用方格表示数位空缺。
金朝《大明历》中出现“四百〇三”，“三百〇九”等数字。
南宋秦九韶的《数学九章》中也出现〇的符号。
但是，这个时期的零的数学意义仍然是不完全的。
3
0是一个极其重要的数字，在数学中具有多种复杂的涵义。
在数学中，零单独出现时代表没有；0放在数字和小数点之前即表示小数和整数的分界限。
在记数表示中，0表示空位；整数后面添上一个0，则为原数的10倍。0在数轴中分别出表示数的阴阳界别：正数和负数。0是数轴上一个作为起点的标志数。例如温度有0摄氏度、海拔有0米、记账有0元，也都以0为起点。
0 不是没有数量，而只是具体数量的空缺。当0作为0存在的时候，作为抽象意义的数量（幽灵）实际仍然存在。
0在很多时候都是代表着一种数量的分界。就像0摄氏度不代表没有气温，而是代表零上的温度和零下的温度的界限。
4
一些人认为零概念起源的空位观念，并不是真正意义的数学零的概念。
空位观念起源于进位法和位值制，可能起源于中国的筹算。
如下，即自右而左，以数的位置表示数量的位级：
万 千 百 十 个
1 （）（）（）（）
空位（）括弧，表示虽然没有数字，但仍然存在数的位级。这种占空位的数级观念，只是0这个数字的复杂涵义中的一种，远不是零概念的全部。换句话说，祘筹的空位，不能完整表示0的概念。
数字600，可以表示为祘筹的：〦（）（）
虽然空位（），表示无数有位，可以作为表示数字零的一种意思，但是这空位无，并不是数字零的符号，并不代表零的明确概念。
5
古代的数学书《九章算术》说：
“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
以上文字里的“无入”，被有的数史家解释是“无”即〇的概念。这是错误的。事实上，在古本《九章算术》中，无入原词是无人。被后来的注释家解释为“无入”。这个概念的本来涵义是模糊的，汉代数学家刘徽给与了解释，以现代语言表述即：
如果定义：这里的“名”就是“正负号”，“除”就是“相减”，“相益”就是“相加”、“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无入”就是减数等于或者大于被减数。
用现在的话说就是：
“正负数加减的法则是：
同符号两数相减，等于其绝对值相减。异号两数相减，等于其绝对值相加。
减数大于被减数（包括被减数为〇），即得负数。此即“正无入（或无人）则负之”。
加法法则是：
异号两数相加，等于其绝对值相减。同号两数相加，等于其绝对值相加。
正数（包括〇）加正数，等于正数——正无入，正之
负数（包括〇）加负数，等于负数。即负无入，负之。
所以，无入的意思是正负数无对，或无可对消。
九章所说的“无入”，是考虑了正负数与0相加减的两种情况，但是并没有以无的概念来表述〇。
以字母表述无入，即：a≥0以及a≤0的两种情况。
总之，我认为《九章算术》并没有使用符号来表示零。筹算数码中也没有可以明确定义的“零”的符号。空位是〇的意义之一，但非全部。
零的复杂多种数学涵义及语用意义，是晚近在近代数学中才出现的。
【附记：对于数学及数学史我只粗知，此仅略沉拙见，聊备一说而已。】
