笛卡尔与解析几何学
勒内·笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海，1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、数学家、物理学家。他是西方近代哲学奠基人之一。
笛卡儿对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了普遍怀疑的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了欧陆理性主义哲学。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”
解析几何学是数学中最基本的分支学科之一, 也是科学技术中最基本的数学工具之一, 从历史的角度看, 解析几何学的创建可以说是数学史上最重大的创造之一。它无疑是17 世纪数学观和数学方法论出现重大变革的直接结果, 它的产生是常量数学向变量数学发展的转折点。
在此基础上建立起微积分学，数学进入了发展的新阶段.。解析几何学的这种转折作用也体现在后人对数学的认识中: 在现代数学教学中, 解析几何学科是学习高等数学的基础, 因而, 它的一部分构成中学的解析几何课程, 另一部分构成大学数学基础课的内容. 解析几何学产生于17 世纪初, 创始人是法国哲学家、科学家、数学家笛卡尔。
笛卡尔(R.Desartes )1 5 96 年3 月21 日生于法国图赖省拉艾镇(现名拉艾一笛卡尔镇) 的一个地方法院评议员家庭，8 岁时入拉弗里舍镇的一所耶稣会学校, 受到正规的耶稣会士教育达8年之久,。
前5 年学习人文学科、法语、音乐、辨论、骑马和击剑等, 后3 年则学习哲学、数学、物理学和天文学等.16 12 年, 笛卡尔入普瓦捷大学学习法律, 161 6 年毕业后, 他曾多次从军并到各地漫游.16 19 年, 他结识了荷兰物理学家皮克曼, 后者向他介绍了数学的若干新进展, 引起他对数学的兴趣; 16 25 年, 他与梅森神父成为挚友, 梅森酷爱科学, 特别是数学, 亦有不少数学创造, 如著名的“ 梅森素数” 和“ 梅森素数问题”就源于此人的工作.。
16 28至1649，20 年间的大部分时间笛卡尔在荷兰居住, 这期间完成了他的所有主要著作.
1 64 9 年, 笛卡尔接受瑞典女王的邀请赴瑞典, 次年2 月1 日病逝于斯德哥尔摩. 笛卡尔于16 3 7 年出版了他的名著( 方法论》(全名为《更好地指导推理和寻找真理的方法论》)
, 书后有三个附录《折光》、《气象》、 《几何学》, 是作为他的方法论的应用的三个实例给出的. 《几何学》包括了笛卡尔的数学成果, 是他的方法论在数学中的一个成功的作用.笛卡尔接受并发展了文艺复兴以来的新数学观, 不仅把数学看作是宇宙的基本模式(古希腊人一直这样认为), 而且把数学视为一种普追有效的方法, 可用于人的实践和科学的各个领域, 这
一点导致从应用中发展数学的近代传统. 从方法论的角度看, 笛杀尔试图寻找(或建立) 一种能得出真知的方法, 它象数学一样, 从最简明可齐的观念开始, 逐渐演绎出人所能知道的一切东西的理由.他指出: “ 只要我们力戒以假作真, 始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必须的秩序” , 那么, 就能获得想得到的全部知识.
笛卡尔所说的就是数学方法一他把数学方法视为科学方法的核心.但是, 当时现有的数学和逻辑学并不能构成他所需要的数学一演绎方法, 驰认为必须用代数学对它们加以改造才行. 代数应该是进行推理, 特别是关于抽象和未知的量进行推理的有力方法.他用代数方法改造了传统几何学, 作为他的方法论的例子, 结果开创了解析几何学.
笛卡尔在《几何学》中作了上述创造. 为了用代数方法改造几何, 他首先对代数自身进行了改造.最先是引入一种普遭适用的数学符号体系, 以表示任何数学量(他创用的用拉丁字母表的前几个字母a 、b、c 等表示已知量, 后几个字母x、y、z 等表示未知量的作法一直延用到今). 接着开始用代数方法来处理几何问题.关于几何作图问题, 笛卡尔指出, 这一问题的实质在于“ 定出所求线段的长度” , 因而完全可以象代数中对于数进行加减乘除乘方开方那样,通过运算来解决. 笛卡尔通过定义单位线段及线段的运算等解决了这一问题. 于是在《几何学》中, 线段a 和线段b 的乘积a·b 也是一条线段(而不是如先前认识的a b 必为面积) 可以作出图来(见图1). 这一思想使得如等线段的高次幂有了几何意义( 也是线段), 这就打破了传统几何学的“ 齐次原则” , 为代数方法在几何学的应用莫定了基础.
进而, 笛卡尔建立了一种利用代数方程来表示几何曲线的更一般的方法. 笛卡尔引入了用数对表示点的坐标(他给出的(x,y)相当于一个料坐标系的坐标), 并把有互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线这两个重要思想, 由此自然得出一系列新的结果: 曲线的次数与坐标的选择无关, 轴系的选择应使曲线对应的方程尽量简单,定义几何曲线为那些可用x和y的有限次代数方程表出的曲线, 据代数曲线的次数对相应的几何曲线分类, 求平面曲线法线的方法等.
由于方程中的未知数更多地被视为变量, 所以, “ 变量 ” 的思想亦深入到笛卡尔的工作中. 于是笛卡尔通过代数方法, 创立了解析几何学, 并打开了变量数学的大门. 解析几何学是笛卡尔的主要数学成就. 在数学中他还有一些别的成果, 如代数方程的p(x)=0 形式的记法; 提出代数基本定理和关于代数方程根的符号的“ 笛卡尔符号法则” 等, 笛卡尔在物理学、生理学中也有所建树, 但更重要的则是他的哲学创造, 他被认为是欧洲近代哲学的开拓者之一, 黑格尔称他是“ 现代哲学之父” . 他的方法论则是他的重要哲学成果之一.
爱情故事
1650年，斯德哥尔摩的街头，54岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。
一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。
和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。
公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。
然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。
这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不 乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁 流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。
国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。
笛卡尔一直未结婚，但是他有一个私生女儿，五岁时夭折了，他讲这是他平生最大的悲伤。他永远衣冠楚楚，佩挂一柄宝剑。笛卡尔当然是个伟大的人，可是在爱情方面，他是不合格的，甚至让人愤怒。这个理性哲学家，被人拒绝了就立刻识趣的离开，身边的女仆为他生了个女儿，但只留下个名字，其他得旁人一概不知。
没落的贵族伊丽莎白公主主动和他写信，他很开心的回信，可后来瑞典女王来了，他就不顾公主惨淡的境遇离开了。是不是过于理智的人就是这样？与斯宾诺莎、莱布尼茨一样，笛卡尔终身未婚，没有享受到家庭生活所带来的快乐。
