世界上首次使用导数的明朝数学大师王文素

作者：北京师范大学教授 赵擎寰

以往，数学界有这样一些观点，如“近史期算学，自明初至清初约当公元1367年迄1750年，前后约400年……民间算学大师又继起无人，是称中算沉寂时期”；“明代中叶以后，出版了很多商人所写的珠算读本，对比较高深的宋元数学只能付之阙如，中国古代传统数学到明代几乎失传”。“十四世纪……先辈们辛勤创造的天元术竟完全失传了。在西方学术输入之前，最重要的也是流传最广的数学书是程大位的《算法统宗》（1592年），这书除了算盘和歌诀之外，没有新的创造。它基本是整理前人作品的书，并且漏掉高次方程和多元高次方程等重要部分”。

通过对王文素著《算学宝鉴》的挖掘、整理与研究，可以说，先辈们创造的、曾领先世界几个世纪的天元术在王文素生活的时代并没有完全失传，也可以说，以《算学宝鉴》为证，宋元时代高度发展的我国数学也没有完全中断。

《算学宝鉴》从39卷至42卷，以4万言的篇幅，共载10首算法歌诀、34问、45术、52草，研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，也是代表该书数学水平的精华所在。这充分说明一元高次方程解法及天元术、四元术在明朝并未失传。

王文素在一元高次方程数值解法中所用名词术语、演算程序，基本上与宋元数学一致，并有所发展和创新。《算学宝鉴》题术中有“古法”、“古法草”、“古代术”等汉唐宋元时的方法，而“解”、“证”、“通证”、“新征”等则是王文素自己的方法与思想，故敢在全书前冠以“通证”字样。

王文素对前人的成果不是盲目的承接，而是批判地继承，在此基础上，又集新题新法，有很多创新和发展，既有精深的算法，又重视实际运用，是中国数学史上难得的一部由浅入深的一整套完整有序的数学教材。

值得一提的是，在开高次方程中，王文素介绍的算法算理严谨，程序承接巧妙，要较他晚些的程大位、朱载育以及清朝甚至更晚的很多数学家、珠算家的方法都高明得多，在古为今用上有特殊的实用性和特殊的贡献。虽然《算学宝鉴》未曾付梓，尘封有年，但从对该书的初步研究可以得出这样的结论，王文素是继宋杨辉、秦九绍、元朱世杰之后明代最杰出的数学巨匠，《算学宝鉴》代表了明代数学的中兴。在世界数学史上，也应有王文素的位置。

王文素不仅继承了以宋秦九绍、元朱世杰为代表的天元术，而且有很多创新与发展，很多都是世界水平的。在研究中，学者们提出了很多新的观点：王文素解高次方程的方法，较英国的霍纳（Hirner，1786－1837）、意大利的鲁非尼（Ruffini，l765－1822）早近300年；在解代数方程上，他走在17世纪牛顿（I．Newton，1642—1727）、拉夫森（J． Raphson，1648－1715）的前面140多年，率先用导数逐步迭代求解，为中国数学史谱写了光辉的篇章。

对于17世纪微积分创立时期出现的导数，王文素在16世纪已率先发现并使用，因而，只从微积分的角度探索导数的起源是不够的。由此看来王文素对世界数学的贡献还应更深入的研究。

《算学宝鉴》中的“开方本源图”是迄今为止中外数学史论著中从未见过的。是独具中国古代传统数学特色的。国外类似的图首见于德国数学家斯蒂非尔（M．Stifel约1487－1567）1544年著《算术大全》一书，较《算学宝鉴》迟20年而且不如该图完备。

可以说，“王氏表算”当时也是走在世界前列的。王文素发明的表算法，使珠算界的争论告一段落王文素在开高次方研究中，将贾宪三角形（俗称扬辉三角形）改进为直角方格楼梯形的“开方本源图”，他利用这种表格开高次方，并解出像X^9＋25X^8＋235X^7＋1035X^6＋2160X^5＋1728X^4=27993600000这样的高次方程。

我国天元术发现后(按：天元术是我国古代数学家创造的一种代数算法。人们现在解代数题，先没X为某数，天元术解题，则常说：“立天元一为某数”，故称天元术。“四元”相当于未知数有w、x、y、z四数)，在金、元两代大河以北是数学活跃的地区。

金代数学家李冶开创的天元术，以及在此基础上元代数学家朱世杰发展出的四元术，是我国数学史上的重要成就。以往一直认为这些方法在明代失传。然而王文素的《算学宝鉴》却显示出这些在明代不仅没有失传，而且进一步发展，很多方面在当时世界上都属于领先。

​[李治(1192—1279年，后改名李冶，栾城今栾县人)在《敬斋古今注》中提到太原有数学家彭泽。金亡，李治隐居于崞县、平定，著《测圆海镜》，后居河北著《益古演段》。

元代朱世杰(籍贯不详，寓居燕山，今北京附近)于1299年成《算学启蒙》，1309年成《四元玉鉴》。他的朋友祖颐在《四元玉鉴》的《后序》中提到平阳(今临汾)蒋周撰有《益古》 (即《益占算法》)，博陆(今河北蠡县)李文一撰有《照胆》、鹿泉(今河北获鹿)石信道撰有《钤经》，平水(临汾城郊)刘汝偕撰有《如积释锁》，绛人元裕作《细草》(可能是《如积释锁》的《细草》，后人才对天元术有所了解“后人始知有天元也”)。汾阳在古代为内地通往陕北、内蒙、宁夏、甘肃以至大西北的交通要冲，货物聚散之区，商业发达，经商的人家也多，在数学上，至少在商业数学上应是有人精通的。]

一次在北京图书馆善本室借微缩胶卷读孔天胤《孔文谷诗集》(明刊)，胶卷接续的想不到是另一位汾阳人王文素的巨著《新集通证古今算学宝鉴》(手抄本)。

武邑贡士宝朝珍序言，称王文素原籍山西汾州。自序末则：“嘉靖三年岁次甲申(1524)秋八月癸巳朔汾阳王文素述于饶川(河北饶阳)西城之馆”。卷一署“汾阳王文素寓饶川述编”，卷二起至卷四十均署“汾阳王文素寓饶川编集”。因知此书出于寓居于饶阳的汾阳数学家王文素。(宋置汾阳军于今县，王用以称其籍贯。)

此书用印好的竖格纸抄写。共约五十余万言。抗战前，中算史家李俨曾看过此书，《中算史论丛》中有文提及。六十年代，数学史家钱宝琮主编《中国数学史》也提到此书，可能因为此书没有正式出版，没有象对早于此书的杭州人吴敬于景泰元年(1450)写成的《九章算法比类大全》，和对晚于此书的安徽休宁人程大位于万历二十年(1592)写成的《直指算法统宗》那样介绍和评述；也没有提到王文素的籍贯生平。

现就我的笔记，撰成此文，介绍给汾阳同志，作为进一步调查研究的参考。也愿地方上新的青少年一代，不要以为在科学技术上无能为力。王文素有诗句云：“广聚细流成巨海，久封抔土积高陵。肯加百倍功夫满，自晓千般法术精”。关键在于“百倍功夫”。

从两篇序言及诗句可略知王文素的情况。正德八年(1513)宝朝珍的序言中说：文素字尚彬，山西汾州人。成化年间(1465—1487)随父林至河北的饶阳经商。自幼涉猎书、史、诸子百家，尤长算法。武邑杜瑾(字良玉)也长算法，因公至清河，遇文索于旅邸，发现文素算法出众，看到所著《通证古今算学宝鉴》三十余卷，深为赞赏。宋杨辉、明金陵杜文高、江宁夏源泽、金台金来朋等人的算法书固然不错，但藏头露尾，难于领悟。

王的算法，可以灵活应用，且编成歌诀，便于学习。杜瑾愿意出资刻版，以广流传。文素的《自序》作于十一年后的嘉靖三年(1524)。说明全书四十二卷。(与抄本对照，正文四十卷，卷首一卷，计四十一卷。可能“二”为“一” 之误。)外附诗词三百余问，其时文素设蒙馆于饶阳西城课徒为业。

从《集算诗》：“身世飘蓬近六旬，留心学算已年深，”知时已年近六十。自序中没有提到杜瑾资助出版一事，而说：“欲刻于版，奈乏工资，不获遂愿。”由此可知此本是按文素经过十一年增订补充的稿本抄出的。书中有不少抄错的字，看来此本未经文素过目。依据上述的年份推算，王文素生于成化元午(1465)前后。宝序称文素“从父林商于真定饶阳。”又说文素：“白幼涉猎书、史、诸子百家，”而本书还有诗、词、歌诀数百首，说明文素是在汾阳学习了一些年不得已弃儒就商的。

成化二十年(1484)山陕大旱、遭灾，人相食。文素从父外出经商，可能就在二十岁前后。宝序对文素之父直呼其名为“林”而不讳，则王林并不富有。文素长于算法，可能在家乡已熟习珠算、筹算、一掌经之类的基本算法，甚或读过末杨辉的《详解九章算法》、《乘除通变本末》、《续古摘奇算法》，元刘汝楷的《如积释锁》(王著第三十九卷有“锁积开立方”)，何子平的《详明算法》(第一卷小数名注中引用了何说)等。

文素经商之后，由于工作上的需要和个人的学习兴趣，自然会读到更多的数学书，在实践中发现了许多简捷通变的算法，同时发现书籍中不仅有印刷错误，而且原著本身有的就存在问题。于是文素逐一钻研论证，“推其所当者述之，误者改之，繁者删之，缺者补之，乱者理之，断者续之，复增乘除图草、定位式样、开方演段、捷径成术，”写成这部巨著，称为《新集通证古今算学宝鉴》。全书四十卷(相当于“章”)、二百条(相当于“节”，实际二百零三条)，三百三十七诀(歌诀)，一千二百六十七问(例题)。(参见附录《自序》、《集算诗》。)

此书由总而分，由易而难，是一部有系统的教材。特点是提出了当时出版物(包括古籍)中的许多错误，所以也是一部有价值的数学参考书。今天进行比较分析，还有可能从中发现找到已失传的数学著作的一些内容。此书之前有吴敬的《大全》出版，之后有程大位的《统宗》

出版，三本著作的关系，有待研究。粗略地比较：

一、开始都介绍了大数、小数、度量衡的单位名称、四则运算、词汇解释。

二、各卷都依《九章算术》方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股顺序编排。

三、术语基本相同，略有差异。如王书“粟米”“粟布”，“盈不足”、“盈肭”并见，程书改用“粟布”、“盈肭”，与吴书不同。四、吴、王未说叫计算工具，程书解应用题全用珠算演算。

王书少数地方谈到算盘，“珠”则称为“子”(晋中传统称“子”)。如“众九相乘”，解曰：“用子甚多，算盘子少，乘则不便，既乘已毕，祗动一子居下，余仍如故。”五、应用问题，吴书1329题，王书1267题，程书595题。

引人注意的是程、王二书均载有纵横图。程书纵横图十四幅，十幅与宋杨辉著作中所载相同，四幅仿杨辉绘制。王书纵横图八幅中与杨辉相仿者一幅，其余均是独出心裁新制的。

纵横图按西文翻译称“幻方”。原为一种数学游戏，有的还带神秘色彩，但在现代计算机技术上得到了新的应用，引起人们重视。

王文素创制的纵横图比之杨辉无论在深度和广度上都有了很大的改进和提高。他的聪明智慧和致学之勤，于此可见。

王文素是中国数学史上一位杰出的学者，《算学宝鉴》为代表明代数学水平的鸿篇巨擘。1998年10月在家乡汾阳召开了全国王文素与《算学宝鉴》学术研讨会，引起了更多专家学者的关注。

【王文素】

王文素，字尚彬，山西汾州（今汾阳市）人，约生于1465年，于明朝成化年间（1465－1487）随父王林到河北饶阳经商，遂定居。

自古晋商多儒商，王文素出生于中小商人家庭的王文素，受所处社会及家庭影响，自幼颖悟，涉猎书史，诸子百家，无所不知。尤长于算法，留心通证，以一生之精力，完成了《新集通证古今算学宝鉴》这一数学巨著。

他的集算诗自述曰：​

身似飘篷近六旬

留心学算已年深

苦思善致精神败

久视能令眼目昏

铁砚磨穿三两个

毛锥乏尽几千根

如风扫退天边露

现出中秋月一轮

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