佛教与古代数学、逻辑的传播

作者：黄秦安

摘要：现代科学诞生以前，各门科学并没有独立的文化地位，而是附庸在当时占主导地位的文化机体上，佛教文化就是一个包含有一定数学与逻辑学知识的庞杂的宗教体系。借助于佛教的传播，中国与印度、日本、朝鲜等国家的数学等科学交流曾盛极一时，但受制于佛教自身的宗教本性，数学等科学只能得到十分有限的发展。

在佛教文化中，数学以及与数学密切相关的天文历算占据着很重要的地位。在我看来，数学等科学之所以能受到佛教的重视，其原因主要有两个：一是佛教建立自身世界观念的需要。对世界的认识和见解需要用到数学与天文历算等科学工具，与儒教不同的是，在佛教本体论中，对世界图景、对自然图式的关心要强烈得多；二是佛教把数学等科学知识的传播当作弘扬佛法、宣传佛之精神的有效途径。

从历史的观点看，佛教与数学等科学的渊源与特定的社会历史情境有密切关系。佛教创立伊始，印度就已经开始流传专门论述数学知识的著作《祭坛建筑法式》，其中包含有相当丰富的几何学知识。是研究公元前印度数学的重要资料。这些数学著作不可能不对关心宗教祭奠中的几何形式的佛教产生影响。例如在古希腊，著名的三大作图难题就与希腊祭坛的设计有关。

弥勒菩萨在总结佛教徒的修学内容说：“菩萨求法，应于五明处求。”这五明之中就有数学与逻辑。在古印度时，数学是儿童接受初等教育的必学课程之一。其中的数学内容包含画图、几何和算术。在中国古代，佛教倡导的《菩萨算法》，曾作为儿童学习数学知识的教科书。沈作喆描绘道：“童子修学书算数，印以《菩萨算法》，算无量之聚，悉知颗粒多少。又能知十方世界种种差异。”[1 ]（P194）

由于数学是佛教世界观与方法论的有机组成部分，因而成为佛教认识世界的一种基本方式。佛教圣地使得大量珍贵的历史文献保留下来，如敦煌莫高窟千佛洞中发现有大量的算书、算表，已成为研究数学史的重要资料。

由于数学在佛教文化中的重要地位，因此当佛教经典最初由中亚各国传入中国时，数学也随之成为中、印两国科学文化交流的重要内容。随着中国僧人到印度取经和印度僧要到中国宣讲佛法，中国数学被介绍到印度、阿拉伯和西方国家，印度数学也被带到中国。

1、佛教与中国数学传向世界

中国古代数学在许多领域的成就在当时都占居世界领先地位。其中许多先进的数学知识都是随着佛教的交流而被传播到世界的。

据日本算学史记载，公元552年，佛教始自朝鲜传入日本后两年，中国何承天元嘉历法亦由朝鲜学者传入日本，随即被施用。到701年，中国算书至日本者，有《周髀》、《孙式》、《五曹》、《九章》、《海岛》、《缀术》等九种。朝鲜、日本学者能有中国历算学，都是凭藉佛教徒的宣传之力。

在5世纪至7、8世纪间，中国僧人有很多前往印度留学。中国算术被传至中亚细亚。如《九章算术》的“盈不足”术，中世纪阿拉伯人称为Hisabal Khataayn，意思是“契丹算法”，就是通过印度输入中亚细亚各地的。

赵君卿在公元3世纪注释《周髀》时对勾股定理的论证，在印度巴斯卡拉（Bhaskara）公元1150年的著作中再次出现；公元1世纪《九章》中的割圆术面积计算法，也在9世纪大雄（Mahavira）的著作中再次出现；公元3世纪《孙子算经》中开平方的方法和五世纪张邱建开立方的方法同梵藏（Brahmagupta）7世纪的著作中给出的法则非常相似；而圣使（Aryabhata）在公元5世纪的著作中的几何测量材料，和刘徽（公元3世纪）的材料十分相似。甚至中国算书上的一些错误，如弓形和锥体公式的错误，恰好也在印度的著述中出现。

以上事实都表明，印度数学曾受到中国数学的很大影响。李约瑟（Joseph Needham）这样评价道：“我们所考虑的这个时期（公元300～900年），应当认为大致就是上面所说的许多中国数学方法传播到印度的时期，也就是佛教在中国文化区的大为扩展的时期。”[1 ]（P332）

尤其值得称颂的是中国数学家创立的“内插法”，它是中国数学对世界数学的一大贡献，其中也凝聚着佛教徒的心血。公元206年，汉末天文学家刘洪在创制“乾象历”时，考虑到月亮视运动速度随时间而变化的规律，创立了一次内插法公式。

公元600年，隋代天文学家刘焯在《皇极历》中提出了一个推算日、月、五星行度的更精密的方法，即“等间距二次内插法”。但由于历法中的节气不是等间距的，日、月、五星的视运动也不是匀加速运动，因此采用刘焯的“等间距二次内插法”得到的数据仍与实际有较大的误差。为了能得到更精确的数值，唐代著名高僧、天文学家、数学家一行在727年发明了“不等间距二次内插法”。采用这一公式计算，大大提高了历法的精确度。根据这一公式计算所得数据编写的《大衍历》因此成为唐代最先进的历法。

“二次内插法”的创立和应用，是中国数学史和天文学史上一项非常重大的成就。它比英国数学家牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的牛顿内插法公式要早近1000年。受中国学者影响，在印度7世纪的算书及中亚细亚11世纪的学者，都曾用内插法计算过正弦数值。

2、佛教与印度数学输入中国

公元3世纪后，中国学者开始通过学习佛经而吸收印度的天文和数学知识。如甄鸾（公元535～573年）通晓佛典，笃信佛教，撰有新旧算书十余种，成为唐代李淳风再校订《算经十书》（公元680年），及宋代官刊《算经十书》（公元1084年）的基础。甄鸾注《数术记遗》曾引用佛经文句。此外，中国算书中也有提到佛书的，如《算经十书》有一题称“今有佛书凡二十九章，章六十三字，问字几何？”

印度数学伴随着佛教的传播而被引入中国。其中比较重要的内容有“位值制数码”、“三等数法”、“周天三百六十度”、以及“三角函数表”等。唐初以后，印度天文学家服务于司天监的很多，印度数学因而有更多的机会流传到中国。瞿昙悉达在其巨著《开元占经》中，曾介绍了印度三角学。在第104卷“算法·天竺九执历经”中，分圆周为三百六十度，每度分为六十分。还介绍了从三度四十五分至九十度，每隔三度四十五分的正弦函数表，共二十四段。并用球面三角法推算日食时月球离黄道的度数。

在“算字法样”条中，瞿昙悉达介绍了印度笔算和位值制数码。

一字、二字、三字、四字、五字、六字、七字、八字、九字

口　口　口　口　口　口　口　口　口

右天竺算法，用上件九个字乘除，“其字皆一举札而成，九数至十，进入前位，每空位处，恒安一点，有间咸记，无由辄错，连算便眼……”[2 ]（P50）

南北朝时期被译成汉文的《佛本行经》、《华严经》、《俱舍论》等佛教经典都涉及印度大、小数目和各种进法。《大堂内典录》著如“外内旁通比较数法一卷”为隋翻经学士泾阳刘凭所撰。从他的自序中可以知道这部书说明佛经中所见的大数记法和中国大数记法的对比。唐慧琳《一切经音义》卷22页也解释了印度大数名称的意义。

元朱世杰撰《算学启蒙》（公元1299年）始于亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载之上，添加极、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思议、无量数六个大数名目，都从万万进。“极”以上的五个大数名称都借用佛经中的大数名称，但所表示的数量和印度数名原来的意义有所改变。

《摩登伽经》卷下“明时分别品等七”叙述印度度量衡单位名称，单位以下都有极细微的分析。其他经典如《大般若波罗密多经》、《大方广佛华严经》、《大宝积经》等也有细微单位的名称。南宋秦九韶《数书九章》卷12有一个计算复利息的问题，其答案是：“末后一月钱两万四千七百六贯二百七十九文，三分四厘八毫四丝七微（无尘）七沙（无渺）三莽一轻二清五烟。”元朱世杰《算学启蒙》中记有：“小数之类：一、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、刹那、六德、虚、空、清、静。”从沙到一都从十进，从净到沙都从万万进。沙以下许多小数名称也是借用佛教经典中度量衡和时间单位的名目。

著名高僧法显、玄奘去印度朝圣求法时，其足迹遍及许多印度数学家的家乡。如圣使（约公元476～550年）的家乡华氏城（今属比哈尔邦巴特那市），梵藏（约公元598～665年）的家乡乌贾因，那时为乌苌国。圣使在499年著《阿耶波多文集》，共有诗121行，分颂辞、数学、历法、天球等四篇。其中第二篇数学，包括数的运算、数列、三角、方程、几何等内容。在梵藏的天文书中有两章是讨论数学的，其中列举了在7、8世纪开始在印度盛行的土盘算法和位值制数码。这些知识和方法，随着佛教的传播而被介绍到中国及世界其他一些地方。

3、佛教与逻辑

佛教理论中蕴含着大量高度精妙的有关逻辑的论述。李约瑟认为：“佛教的（和其他印度的）理论体系往往至少是和欧洲的那些伟大的哲学一样精致，但却还很少受到被数理符号学现在能提供的一切助力所武装的现代逻辑学家的注意。”[3 ]（P450）佛教中不仅有形式逻辑，也有辩证逻辑。这两种逻辑也都对中国文化产生过一定影响。

印度最早的形式逻辑学派是正理——胜论派。此派有五支归纳——演绎推论式，以及诸“反位法”等方法。它是通过真谛的翻译传入中国的。真谛在《如实论》这部著作中吸收了这一学派的其他逻辑学作品。13世纪以后，印度逻辑学出现了新正理派，这一学派比西方的符号逻辑要早若干个世纪。

辩证逻辑学是被称为中观派（即中国和印度的三论宗或空宗）的龙树（2世纪初）学派的成果。这一学派认为，每一种可能的推论式（或者断言）都是虚妄，因为它导致它的反面（必要推理或反推论式，即“具缘”）。

黑格尔曾明确地提到过他的矛盾逻辑的印度先驱。《中论》一书由鸠摩罗什于公元409年初次译为汉文。最初阐释书中辩证逻辑的中国人是僧肇（公元384～414年）。

僧肇是鸠摩罗什的弟子，他的《肇论》一直以一系列的反题和合题例证了当时所理解的“中道”。一切事物在某种意义上都是存在的（“有”），但在另一意义上又都是不存在的（“非”）。这两种主张最后都不能成立，实际上是既非有，也非无。

吉藏（公元549～643年）在其《二谛章》中非常详尽地阐述并系统化了矛盾逻辑。他的教师法朗曾区分了世俗真理（“世”）和绝对真理（“真”）。最高层次的真理是要通过一连串的否定之否定，直到既无可以肯定也无可以否定的东西，才可以达到。双重真理（“二谛”）被安排在三个层次上：

世谛　　　　　真谛

（一）说有　　　说空

（二）亦有亦空　非有非空

（三）有空俱有俱无　有空非有非无

中国佛教中的矛盾逻辑在达到系统化之后，便开始受到玄奘所大力宣扬的唯识宗的支配，回到窥基的形式逻辑中去了。

唯识宗，由玄奘及其弟子窥基所创立。它属于印度佛教中由无著和世亲所创立的大乘有宗一系。在逻辑上，他们把印度的因明学说介绍到中国，并作为本宗立论的基本方法。

所谓“因”，指推理的理由、根据；“明”，有证明的意思。